罗素悖论与第三次数学危机
1、1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。他指出："牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量０，应用二项式(x+0)n，从中减去xn以求得增量，并除以０以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让０消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的手续──先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量。"他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，"dx为逝去量的灵魂"。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。
2、当时一些数学家和其他学者，也批判过微积分的一些问题，指出其缺乏必要的逻辑基础。例如，罗尔曾说：“微积分是巧妙的谬论的汇集。”在那个勇于创造时代的初期，科学中逻辑上存在这样那样的问题，并不是个别现象。
3、承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。诚然，问题涉及数理逻辑和集合论，但它一开始就牵涉到无穷集合，而现代数学如果脱离无穷集合就可以说寸步难行。因为如果只考虑有限集合或至多是可数的集合，那绝大部分数学将不复存在。而且即便这些有限数学的内容，也有许多问题要涉及无穷的方法，比如解决数论中的许多问题都要用解析方法。由此看来，第三次数学危机是一次深刻的数学危机。
4、悖论在当代逻辑中获得了新的作用，它们导致了新定理的发现(通常是负面的结果，例如不可证明性和不可判定性)。逻辑的几个基本概念发展过程,之所以已经到了目前的状态，通常是得益于解决悖论的各种尝试。对于集合(set)和类(collection)的概念，标准古典逻辑的基本句法和语义概念(给定顺序的逻辑语言，可满足性，可定义性的概念)出现而言，尤其如此。(罗素悖论与第三次数学危机)。
5、周述岐，数学思想和数学哲学，北京：中国人民大学出版社，1993
6、首先，将所有数学形式化，让每一个数学陈述都能用符号表达出来，让每一个数学家都能用定义好的规则来处理这些已经变成符号的陈述。这使得数学家可以摆脱自然语言的模糊性，取而代之的是毫无含糊之处的符号语言。
7、突然有一天，他们研究边长为1的正方形，发现对角线不能用一个已知的数来表示，其实我们今天知道这个数是个无理数，即根号二。
8、就这么一个简单的逻辑事件，却深深地透露出一个问题，那么就是，即使我们对于逻辑的数学化建设耗费了如此巨大的精力，我们得出的很多结论仍然不是严密的，可能会有漏洞。很明显，这套悖论与康托尔的集合论是水火不容的，必须要建立一个一套更加严密的解决办法才能将这些矛盾统一在一起。也有许多人尝试过，但是都只是部分解决了这次危机。人们建立了两套公理体系，使得最大程度地适配这些悖论。
9、罗素从集合元素的三大特性中发现了康托尔集合论中的一个BUG。集合S是由一切不属于自身的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果s属于S，根据S的定义，s就不属于S；反之，如果s不属于S，同样根据定义，s就属于S。无论如何都是矛盾的。
10、 这个矛盾大大动摇了集合论的基础,同时，也动摇了整个数学的基础，所以称此为第三次数学危机，为了消除以上的矛盾，数学家提出了各种不同的解决方案。后来公理化集合论的建立，成功排除了集合论中出现的悖论。所有集合组成的是一个类，而不是一个集合。
11、界定标准是：如果村里的任一村民x，从出生到死亡都从来没有自己给自己刮过脸，即一生中都没有“自己给自己刮脸”的“劣迹”，那么，x是“不给自己刮脸的人”。
12、这一发现不仅严重触犯了毕达哥拉斯学派的信条，同时也冲击了当时希腊人的普遍见解，因此在当时它就直接导致了认识上的“危机”。
13、三大数学流派是围绕数学的哲学基础问题进行的不同探讨而形成的三大学派，主要指逻辑主义、形式主义和直觉主义三大学派。其形成主要是在1900年到1930年这三十年间。代表人物有罗素、希尔伯特、布劳威尔。
14、直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础。
15、危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。1908年，策梅洛提出第一个公理化集合论体系，后来经其他数学家改进，称为ZF系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种。但虽然说第三次数学危机表面上是解决了，但其实还没有非常完美地解决。
16、因此有“康托尔定理”：任意集合(包括无穷集)的幂集的基数大于该任意集合的基数。
17、这个观点是俄国的数学家康托尔提出的，即著名的康托尔悖论。
18、第三次数学危机是罗素悖论，这里要先提到一个人叫康托尔，十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论， 而且这一开创性成果被广大数学家所接受了，获得广泛而高度的赞誉。可是，好景不长。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。罗素悖论提出之后，简直是将整个数学大厦都动摇了，当时著名的数学家弗雷格正在写一本书，叫《算术的基本法则》，这本书刚要出版，就听说了罗素的这一悖论，当时他感叹道：“一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他的工作即将结束时，其基础崩溃了。罗素先生的一封信正好把我置于这个境地。”
19、 二分法悖论：运动者到达目标位置前需要先走过原空间的一半，到达一半的位置前需要走过原空间的1/.....以此类推下去，运动者先要走的路无穷小，几乎不能动弹.
20、除此而外, 还应该看到: 希尔伯特想把全部数学都纳入于公理化方法形式化的宏伟规划中去的愿望, 已经由奥地利数学家哥德尔(G¨odel) 在1931年发表的“不完全性定理”所表明: 那是永远不能彻底实现的。
21、罗素悖论是：集合S由一切不是自身元素的集合所组成。然后问：S是否属于S？如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。
22、从远古时代到现代，数学史上一共有三次危机。第一次是古希腊关于无理数的诞生产生的争论，第二次是微积分里无穷小量的争论，第三次就是19世纪关于集合论定义的争论。
23、后来罗素又以通俗的形式给出这个悖论，即“理发师悖论”：某乡村理发师宣布了一条原则，他给村里所有不给自己理发的人理发。那么试问，理发师是否给自己理发？如果他给自己理发，则不符合自己提出的原则，因此，不应该给自己理发；如果他不给自己理发，那么根据他的原则，又应该给自己理发。
24、数学的发展就经历过三次关于基础理论的危机。
25、而且希尔伯特在数学领域所做出的最具影响的贡献还是著名的几何基础和“23 个数学问题”，这里面都涉及到了拓扑学。
26、所以后来通过弗兰克尔的改进后被称为策梅洛-弗兰克尔公理系统。在该公理系统中，由于分类公理：P(x)是x的一个性质，对任意已知集合A，存在一个集合B使得对所有元素x∈B当且仅当x∈A且P(x)；因此{x∣x是一个集合}并不能在该系统中写成一个集合，由于它并不是任何已知集合的子集；并且通过该公理，存在集合A={x∣x是一个集合}在ZF系统中能被证明是矛盾的。
27、19世纪70年代初，威尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上。
28、 “两分法”：向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点，然而要经过这点，又必须先经过路程的1/4点……，如此类推以至无穷。——结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动是不可能的。
29、我们还真不能怪希尔伯特钻牛角尖。因为当时除了欧几里得的几何公理，还有其它一些数学的公理体系。最叫人担心的就是数的公理，也就是希尔伯特在他的第二个问题中提到的算术公理。这套公理定义了数和数的运算规则，它又叫做皮亚诺公理，是意大利数学家皮亚诺提出的，公理总共有九条，粗看看也都是显然的。不过由于希尔伯特时代，数论还是有很多悬而未决的问题，也许希尔伯特直觉感到皮亚诺公理体系有缺陷，所以提出要数学家来证明这个皮亚诺公理体系是相容完备的。
30、罗素悖论使整个数学大厦动摇了，无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷本末尾写道：“一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了。当本书等待付印的时候，罗素先生的一封信把我就置于这种境地”。狄德金原来打算把《连续性及无理数》第3版付印，这时也把稿件抽了回来。发现拓扑学中“不动点原理”的布劳恩也认为自己过去做的工作都是“废话”，声称要放弃不动点原理。
31、有数学家反对对无穷集合使用排中律,一场持久战1908 年，布劳威尔写出了一篇名为《关于逻辑原理的不可靠性》，这篇论文认为运用排中律的数学证明是不合理的。
32、以上三期简单介绍了数学史上由于数学悖论而导致的三次数学危机与经过，从中我们不难看到数学悖论在推动数学发展中的巨大作用。有人说：“提出问题就是解决问题的一半”，而数学悖论提出的正是让数学家无法回避的问题。它对数学家说：“解决我，不然我将吞掉你的体系！”正如希尔伯特在《论无限》一文中所指出的那样：“必须承认，在这些悖论面前，我们目前所处的情况是不能长期忍受下去的。人们试想：在数学这个号称可靠性和真理性的模范里，每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果。如果甚至于数学思考也失灵的话，那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢？”悖论的出现逼迫数学家投入最大的热情去解决它。而在解决悖论的过程中，各种理论应运而生了：第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生；第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立；第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。数学由此获得了蓬勃发展，这或许就是数学悖论重要意义之所在吧。
33、数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。
34、悖论是命题或推理中隐含的思维的不同层次、意义(内容)和表达方式(形式)、主观和客观、主体和客体、事实和价值的混淆，是思维内容与思维形式、思维主体与思维客体、思维层次与思维对象的不对称，是思维结构、逻辑结构的不对称。
35、在19世纪末至20世纪初，逻辑和数学的基础受到许多困难(所谓的悖论)的发现的影响，特别是经典集合论中被发现有自相矛盾的现象，尤其是罗素悖论，以极为简明的形式震撼了数学的基础,这就是“第三次数学危机”。这些难题涉及基本概念以及定义和推理的基本方法，这些以前通常被认为是没有问题的。
36、1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。他指出："牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量０，应用二项式(x+0)n，从中减去xn以求得增量，并除以０以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让０消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的手续——先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量。"他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，"dx为逝去量的灵魂"。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。
37、悖论根源于知性认识、知性逻辑(传统逻辑)、矛盾逻辑的局限性。产生悖论的根本原因是把传统逻辑形式化、把传统逻辑普适性绝对化，即把形式逻辑当作思维方式。
38、这次危机的关键问题是无穷小量究竟是不是零？两种答案都会产生矛盾，如果无穷小量是零，那么凭什么他当分母？如果无穷小量不是零，那么，凭什么在计算中忽略它的存在。
39、因为罗素悖论只涉及最基本的集合论概念：集合，元素，属于和概括原则，它的构成十分清楚明白。这个悖论的出现说明以往的朴素集合论中包含矛盾，因而以集合论为基础的整个数学就不能没有矛盾。这个悖论也同时说明数学中采用的逻辑也不是没有问题的。数学上的第三次危机使数学界和逻辑学界都感到问题的严重性。罗素悖论表明不能无条件承认概括原则，然而概括原则的改变将使集合论大为改观，因此对整个数学的影响是巨大的。
40、分析学的奠基人，公认为法国多产的数学家柯西。柯西在数学分析和置换群理论方面做了开拓性的工作，是最伟大的近代数学家之一。他在1821年——1823年间出版的《分析教程》和《无穷小计算讲义》是数学史上划时代的著作。在那里他给出了数学分析一系列基础概念的精确定义，例如，他给出了精确的极限定义，然后用极限定义连续性、导数、微分、定积分、无穷级数的收敛性。这些定义基本上就是我们今天微积分课本中使用的定义，不过现在写得的更加严格一点。柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，另外Weistrass创立了极限理论，加上实数理论，集合论的建立，从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。
41、00美国杰出数学家哥德尔于本世纪30年代提出了不完全性定理。
42、这是何等的气魄！这是何等的梦想！但就在演讲前夕，他的同胞哥德尔，作出了一个断言，彻底打碎了这个梦。
43、而罗素悖论的大白话版本也就是著名的理发师悖论：在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。
44、罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质："理发师是否自己给自己刮脸？"如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。罗素悖论的精确表述：如果存在一个集合A={x | x∉ x}，那么A∈A是否成立？如果它成立，那么A∈A，不满足A的特征性质。如果它不成立，A就满足了特征性质。罗素悖论使整个数学大厦动摇了。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷末尾写道："一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地"。于是终结了近12年的刻苦钻研。承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。对于第三次数学危机，有人认为只是数学基础的危机，与数学无关。这种看法是片面的。诚然，问题涉及数理逻辑和集合论，但它一开始就牵涉到无穷集合，而现代数学如果脱离无穷集合就可以说寸步难行。因为如果只考虑有限集合或至多是可数的集合，那绝大部分数学将不复存在。而且即便这些有限数学的内容，也有许多问题要涉及无穷的方法，比如解决数论中的许多问题都要用解析方法。由此看来，第三次数学危机是一次深刻的数学危机。
45、1912 年，在阿姆斯特丹大学的数学教授就职演说上，布劳威尔进一步探讨了他认为与这个“定律”有联系的问题。
46、(JackyChen为我们解释理发师悖论)
47、集合论是从一个物件o和集合A之间的二元关系开始：若o是A的元素，可表示为o∈A。由于集合也是一个物件，因此上述关系也可以用在集合和集合的关系。另外一种二个集合之间的关系，称为包含关系。若集合A中的所有元素都是集合B中的元素，则称集合A为B的子集，符号为A?B。例如{1,2}是{1,2,3}的子集，但{1,4}就不是{1,2,3}的子集。依照定义，任一个集合也是本身的子集，不考虑本身的子集称为真子集。集合A为集合B的真子集当且仅当集合A为集合B的子集，且集合B不是集合A的子集。
48、某村有一位手艺高超的理发师，他只给村上所有不给自己刮脸的人刮脸，那么，他给不给自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他是个不给自己刮脸的人，他应当给自己刮脸；如果他给自己刮脸，由于他只给不给自己刮脸的人刮脸，他就不应当给自己刮脸了。他应该如何呢？ 现在考虑由所有那些自身不属于自己的集合作成一个集合A,那么，A是本身属于自己的集合还是本身不属于自己的集合呢？理应两者必居其中一个，但是，我们看到：若A∈A,则根据A的定义，A∉A。若A∉A，则根据A的定义，A∈A。无论在任何情况下都导致矛盾，这就是人所共知的罗素悖论。
49、00时至今日，第三次数学危机还不能说已从根本上消除了，因为数学基础和数理逻辑的许多重要课题还未能从根本上得到解决。
50、00“贝克莱悖论”提出以后，许多著名数学家从各种不同的角度进行研究、探索，试图把微积分重新建立在可靠的基础之上。
51、 1900年，英国数学家和哲学家罗素在巴黎见到意大利数学家皮亚诺，他发现皮亚诺比其他任何人都严格，并且认定这是他的数理逻辑所致。因此，罗素潜心研究皮亚诺及其学生的著作，并且认定他的符号正好是自己寻求多年的、可以用来进行逻辑分析的工具。接着罗素开始打算从逻辑推出全部数学来，开始他还觉得顺利，但是不久就遇到了问题。康托尔曾经证明过不存在最大的基数，罗素对此有些疑惑，认为以世界上所有的集合为元素构成的集合应该是最大的(因而具有最大基数)，这样他就发觉其中有些矛盾，开始的时候他也觉得这件事也许没什么大不了的，也许是在什么地方绕住了，但是他左思右想仍无法绕过来，结果产生了著名的罗素悖论，引起了关于数学基础的新的争论，从而造成了数学史上更为严重的关于数学基础的第三次危机。
52、我们前面讲过欧几里得的几何原本。这部书就是描述欧氏几何。书的开篇就有几大公理和公设。几何原本有5大公理，这五个公理对我们普通人来说，简直就是不用想也应该是对的。第一就是等于同量的量相等，第二是等量加等量其和仍然相等，第三是等量减等量其差相等。第四是彼此能重合的物体是全等的。第五是整体大于局部。这五点，按照我们普通人常识思维肯定是成立的。
53、00魏尔斯特拉斯用排除无穷小量的办法来解决贝克莱悖论，而在上世纪60年代，鲁滨逊又把无穷小量请了回来，引进了超实数的概念，从而建立了非标准分析，同样也能精确地描述微积分，进而也解决了贝克莱悖论。
54、从此，数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法，其中之一是把集合论建立在一组公理之上，以回避悖论。首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗，他提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进，形成了一个无矛盾的集合论公理系统(即所谓ZF公理系统)，这场数学危机到此缓和下来。现在，我们通过离散数学的学习，知道集合论主要分为Cantor集合论和Axiomatic集合论，集合是先定义了全集I，空集，在经过一系列一元和二元运算而得来的。而在七条公理上建立起来的集合论系统避开了罗素悖论，使现代数学得以发展。
55、 其实，在罗素之前集合论中就已经发现了悖论。早在1897年，布拉利—福尔蒂已公开发表了最大序数悖论。1899年康托尔本人也发现了最大基数悖论。当时因为这两个悖论牵涉到较为复杂的理论，人们认为可能是由于在其中某些环节处不小心引入的一些错误所致，人们对消除这些悖论也是乐观的，所以它们只是在数学界揭起了一点小涟漪，未能引起大的注意。但罗素悖论则不同，这一悖论相当简明，而且所涉及到的只是集合论中最基本的方面，以致几乎没有什么可以辩驳的余地，这就大大动摇了集合论的基础。 为了消除悖论，许多科学家开始分析悖论产生之因，寻求解决方案，他们规划了两种解决途径，其一是将整个集合论抛弃，把数学建立在别的理论基础上；其二是对康托尔的集合论加以改造，将集合论公理化。经过探索，他们选择了第二条解决途径。
56、正如***论的悖论，特别是罗素悖论成为逻辑和数学相容性形式化的起点一样，撒谎者悖论及其语义学悖论导致了理论语义学的发展。”
